Habilidades Matemáticas | Lección #10

Saludos amigos y lectores de mi blog, bienvenidos, antes de comenzar quiero agradecer a todos los asiduos lectores de mi blog, por su apoyo constante durante estas 10 lecciones de la serie de Habilidades Matemáticas, en ellas trabajamos algunos problemas con la intención de poner a prueba y sacar a relucir sus habilidad matemáticas, donde se enfocaban en las nociones básicas del álgebra y la aritmética; con está lección ponemos fin a la primera edición de esta serie, pero eso no quiere decir que no habrán otras ediciones, descansaremos por unas semanas y luego nos enfocaremos nuevamente en el desarrollo de las habilidades matemáticas.

En esta oportunidad les presentaré tres problemas con sus soluciones, y al final les dejaré una lista de problemas, para que puedan realizarlos y ustedes mismos, podrán medir si han podido bien sea recordar, o bien aprender a abordar este tipo de problemas donde lo importante no es adivinar la respuesta correcta, sino poder entenderlos, saber como abordarlos y mezclar sus habilidades con las matemáticas para darles solución a los problemas que son sacados de la vida cotidiana. De igual manera, como siempre, espero sus comentarios con las respuestas a los problemas propuestos, así como aportes y sugerencias.

Está serie desde 10 lecciones, están dirigidas al público en general, pero con especial énfasis a estudiantes de educación media y diversificada. Los invito a compartir esta publicación con sus hijos, nietos, sobrinos, tíos, abuelos, amigos y todos aquellos que se sientan interesados en divertirse un rato con la belleza que nos regala las matemáticas.

Problema 01: ¿Cuáles de los siguientes triples de números no pueden ser las longitudes de los lados de un triángulo?

1. (1,3,3)
2. 
(1,1,3)
3. (3,4,5)

A.      Ninguno
B.      1
C.      2
D.      3
E.      1 y 2

Solución:

Recordemos que la distancia (más corta) entre dos puntos del plano es la longitud del trazo que los une. Así, la distancia AB en la figura anexa es menor que la distancia AC+CB.

En consecuencia, si dos de los lados del triángulo miden 1, el tercer lado debe medir menos que 2 y así, en ningún caso puede ser 3. Luego, la terna en 2 no puede representar las longitudes de los lados de un triángulo.

La terna en 1 representan las longitudes de los lados de un triángulo isósceles (tiene dos lados iguales, cada uno de longitud 3) y base de longitud 1.

La terna en 3 representa las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo ya que se satisface el recíproco del teorema de Pitágoras (si en un triángulo de lados a, b y c se satisface que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, entonces el triángulo es rectángulo).

En nuestro caso, la hipotenusa del triángulo es 5 pues 5 al cuadrado es 25, 4 al cuadrado es 16 y 3 al cuadrado es 9, luego 25=16+9.

Luego, la respuesta correcta es C.


Problema 02: En una mesa redonda de 5 puestos, se sientan Abdul, Abner, Ady, Annette y Marcos. Annette se sienta al lado de Abner, pero no al lado de Ady. Si Ady no está al lado de Marcos, ¿quiénes están sentados al lado de Abdul?

A. Marcos y Ady
B. Annette y Ady
C. Abner y Ady
D. Marcos y Annette
E. Abner y Annette

Solución:

Dibujemos primero los 5 puestos donde se van a sentar Abdul, Abner, Ady, Annette y Marcos.

Sea A el puesto donde se sentó Annette.

Como Annette se sienta al lado de Abner, entonces Abner tiene dos posibles posiciones para sentarse. Si B es el puesto donde se sienta abner, las dos posibilidades son las siguientes:

Pero Annette no se sienta al lado de Ady. Luego, de la primera configuración posibilidad resultan dos nuevas configuraciones, donde C es el puesto donde se sienta Ady.

Similarmente, de la segunda configuración, resultan las siguientes dos posibilidades.

Pero como Ady no está sentada al lado de Marcos, quedan descartadas dos de las cuatro opciones anteriores quedando entonces las siguientes configuraciones:

De las configuraciones que nos quedan, D es el puesto que ocupa Marcos.

Observemos ahora que el puesto vacío es el de Abdul, y en ambas posibilidades Ady y Marcos están sentados al lado de Abdul.

Luego, la respuesta correcta es A.


Problema 03: ¿Qué pasa con el valor de la fracción

si x aumenta indefinidamente?

A. Aumenta indefinidamente
B. Disminuye indefinidamente
C. Se aproxima a cero
D. Se aproxima a 1/2
E. Permanece constante


Solución:

Para ver lo que pasa, escribimos la fracción dada de otra forma. Para ello, dividimos tanto el numerador como el denominador de la fracción dada por x, con x distinto de cero. Esto no cambia el valor de la fracción dada. Tenemos:

Luego, lo que le pasa a la fracción

cuando x aumenta indefinidamente, es lo mismo que le pasa a la fracción

cuando x aumenta indefinidamente.

Observemos ahora que cuando x aumenta indefinidamente entonces

se aproxima hacia cero.

Entonces, cuando x aumenta indefinidamente, la fracción

se aproxima hacia 1/2.

En consecuencia, la respuesta correcta es D.

Lista de ejercicios propuestos

Ejercicio 01:

De un estanque lleno de agua, se retira el 30% de su contenido y luego se retira el 25% de lo que quedaba. Si todavía hay 45 litros de agua en el estanque, ¿cuál es la capacidad del estanque?

A. 100 litrosB. 69.75 litrosC. 1 litroD. 85.71 litrosE. 81.81 litros

Ejercicio 02:

A las 8:00 A.M. Marcos y Raúl arrancan desde el punto de partida en una pista circular. Marcos camina una vuelta completa a la pista cada 9 minutos y Raúl camina una vuelta completa a la pista cada 12 minutos. ¿A qué hora Marcos y Raúl coinciden en el punto de partida nuevamente?

A. 8:09 A.M.B. 8:12 A.M.C. 8:21 A.M.D. 8:36 A.M.E. 8:45 A.M.

Ejercicio 03:

Dos alumnos (de la misma eficiencia cada uno) pintan dos pupitres en 1 hora. ¿Cuántos pupitres pintan 4 alumnos (de la misma eficiencia que los anteriores) en 2 horas?

A. 1B. 2C. 4D. 6E. 8

Ejercicio 04:

Angélica tiene dos tercios de la edad de Adriana. La edad de Carmen es tres cuartos de la edad de Angélica. Si Adriana tiene 12 años, ¿cuál es, en años, la edad de Carmen?

A. 6B. 10C. 12D. 4E. 8

Ejercicio 05:

Antes de un aumento de precio, un artículo costaba Bs S. 600. Ahora cuesta Bs. S. 750. ¿Cuál fue el porcentaje de aumento?

A. 20 %B. 33.33 %C. 80 %D. 75 %E. 25 %

Ejercicio 06:

Si 6 tazas llenan los dos tercios de una jarra, ¿cuántas tazas se necesitan para llenar 3 jarras?

A. 6B. 12C. 18D. 21E. Ninguna de las anteriores

Ejercicio 07:

En una fila de cuatro asientos, P se sienta al lado de Q, pero no al lado de R. Si R no está al lado de S, quién está al lado de S.

A. NadieB. PC. QD. RE. No se puede determinar

Ejercicio 08:

En un examen, P obtuvo menos puntos que Q y T obtuvo más puntos que Q. R obtuvo menos puntos que T, pero más puntos que Q. Si S obtuvo más puntos que P, pero menos que R, ¿quién obtuvo más puntaje?

A. PB. QC. RD. SE. T

Ejercicio 09:

R, S, T, U son cuatro números reales positivos tales que: la suma entre R y S es igual a T, el doble de R es igual a S y la diferencia U-R es igual a T. ¿Cuál de los siguientes es el orden de estos números de mayor a menor?

A. TSURB. UTSRC. TSRUD. TUSRE. UTRS

Ejercicio 10:

El enunciado: “p no es mayor que 5 y p no es menor que 3” es equivalente al enunciado:


A. p es negativoB. p es menor que 3 o bien p es mayor que 5
C. p es mayor que 3 pero menor que 5D. p es menor o igual que 3 o bien p es mayor o igual que 5
E. p es mayor o igual que 3 pero menor o igual que 5

Queridos amigos y lectores, espero hayan disfrutado leyendo y estudiando estas primeras 10 lecciones, donde pusimos a prueba esos excelentes cerebros, para recordar y poner en práctica todo lo aprendido en las lecciones y es su escolaridad. De más esta decirles, que los espero en la próxima serie de Habilidades Matemáticas. Compartan con sus hijos, nietos, sobrinos o amigos que quieran aprender un poco más del maravilloso mundo de las matemáticas. No olviden dejar sus comentarios. Saludos y nos leemos pronto.

Si desean consultar un poco más del tema pueden ver las siguientes referencias:

Baldor, Aurelio. Álgebra Elemental. Cultural Centroamericana, 1972.

Baldor, J. Aurelio. Aritmética. Cultural Centroamericana, 1978.

Todas las imágenes son propias, creadas y editadas con software libre: LaTeX2e, GIMP

Habilidades Matemáticas | Lección #09

Saludos amigos y lectores de mi blog, bienvenidos, en esta oportunidad les traigo la novena lección de la serie de Habilidades Matemáticas, donde se ponen a prueba sus habilidad matemáticas para resolver algunos ejercicios de nociones básicas de álgebra y aritmética; aquí les presentaré tres problemas con sus soluciones, y al final les propongo un par de problemas, donde mediremos si se entendió la forma de abordar estos y los problemas de las lecciones anteriores, espero sus comentarios con las respuestas al par problemas propuestos, así como aportes y sugerencias. Esta serie de publicaciones están dirigidas al público en general, pero con especial énfasis a estudiantes de educación media y diversificada. Los invito a compartir esta publicación con sus hijos, nietos, sobrinos, tíos, abuelos, amigos y todos aquellos que se sientan interesados en divertirse un rato con la belleza que nos regala las matemáticas. 

Problema 01: ¿Cuántos minutos faltan para mediodía si hace 24 minutos faltaban los 4/3 de lo que falta ahora?

A.      72 min.
B.      96 min.
C.      24 min.
D.      36 min.
E.   Ninguna de las anteriores.

Solución:

Sea x el número de minutos que ha transcurrido desde el medio día hasta este momento. En consecuencia, desde medio día hasta hace 24 minutos atrás ha transcurrido (x-24) minutos. La condición del problema es:

Para despejar x, multiplicamos por 3 cada miembro de la ecuación anterior, obteniendo:

Luego,

Restando 3x a cada miembro de esta última ecuación, resulta:

Luego, la respuesta correcta es B.


Problema 02: Un basketbolista efectúa 60 lanzamientos al cesto y convierte 20. De los 15 lanzamientos que le quedan, ¿cuántos de ellos debe convertir para que su número de aciertos sea el 40 % del total de sus tiros?

A.      8
B.      10
C.      12
D.      15
E.      20

Solución:

Primero, observamos que el basketbolista efectúa 75 lanzamientos en total. Segundo, observemos que el 40 % de 75 es

Es decir, para convertir el equivalente al 40 % del total de sus lanzamientos, el basketbolista debe convertir en total 30 tiros. Como ya ha convertido 20, entonces de los 15 que le quedan deberá convertir 10.

La respuesta correcta es, entonces es B.


Problema 03: ¿Cuál de las siguientes fracciones es la mayor?

A.      5/8
B.      2/3
C.      7/15
D.      29/50
E.      51/89

Solución:

Este tipo de problemas lo podemos resolver representando primero el entero 1 por un rectángulo. Para representar una fracción; por ejemplo, la fracción 3/8, dividimos el rectángulo en 8 partes iguales y sombreábamos 3 de ellas. La parte sombreada representa la fracción 3/8.

Similarmente procedemos con las demás fracciones, si tanto el numerador como denominador de ellas es pequeño. En seguida, vemos cuál sombra era la más grande, para así saber cuál fracción es la más grande.

Este método es muy bueno para aclarar el concepto de fracción y para comparar fracciones cuyo numerador y denominador son relativamente pequeños. Pero, por ejemplo, cómo aplicar este método a fracciones tales como las dadas en las respuestas a este problema ó peor aún, en fracciones tales como

Debe entonces existir otro método más conveniente para estos casos. Este método es el que vamos a explicar ahora.

Para ello, recordemos primero lo siguiente

es decir, la fracción es positiva, si y solo si, el producto del numerador por el denominador es positivo.

Por ejemplo,

Similarmente,

Por ejemplo,

También recordemos o siguiente:

Pero,

Luego,

En otras palabras,

Por otro lado, si b y d son mayores que cero, entonces bd > 0 y en este caso,

En consecuencia, si b y d son positivos, entonces:

Similarmente,

Vamos a chequear ahora las diferentes respuestas del problema usando este criterio.

Tenemos entonces lo siguiente:

Luego, 2/3 es la mayor de todas las fracciones dadas. La respuesta correcta es B.


Problemas Propuestos

De un estanque lleno de agua, se retira el 30 % de su contenido y luego se retira el 25 % de lo que quedaba. Si todavía hay 45 litros de agua en el estanque, ¿cuál es la capacidad del estanque?

Licarmen debe resolver una lista de 24 problemas de matemáticas en 2 días. En el primer día resolvió los 2/3 de los problemas de la lista y en el segundo día resolvió los 3/4 de los que faltaban por resolver. ¿Cuántos problemas dejó Licarmen sin resolver?

Queridos amigos y lectores, espero hayan disfrutado leyendo y estudiando estos ejercicios, los espero en la próxima entrega (dentro de dos días) con otros problemas. Compartan con sus hijos, nietos, sobrinos o amigos que quieran aprender un poco más del maravilloso mundo de las matemáticas. No olviden dejar sus comentarios. Saludos y nos leemos pronto.

Si desean consultar un poco más del tema pueden ver las siguientes referencias:

Baldor, Aurelio. Álgebra Elemental. Cultural Centroamericana, 1972.

Baldor, J. Aurelio. Aritmética. Cultural Centroamericana, 1978.

Todas las imágenes son propias, creadas y editadas con software libre: LaTeX2e, GIMP

Habilidades Matemáticas | Lección #08

Saludos amigos y lectores de mi blog, bienvenidos, en esta oportunidad les traigo la octava lección de la serie de Habilidades Matemáticas, el día de hoy una vez más pondremos a prueba su habilidad para resolver algunos ejercicios donde se tratan algunas nociones básicas de álgebra y aritmética; aquí les presentaré tres problemas con sus soluciones, y al final les propongo un par de problemas, para así poner a prueba lo que les he mostrado en esta y todas las lecciones anteriores, espero sus comentarios con la respuesta al problema propuesto, así como aportes y sugerencias. Esta serie de publicaciones están dirigidas al público en general, pero con especial énfasis a estudiantes de educación media y diversificada. Los invito a compartir esta publicación con sus hijos, nietos, sobrinos, tíos, abuelos, amigos y todos aquellos que se sientan interesados en divertirse un rato con la belleza que nos regala las matemáticas.

Problema 01: Un equipo de béisbol gana 6 partidos más que los que pierde. El equipo juega 20 partidos. ¿Cuántos partidos ganó?

A.      6
B.      7
C.      8
D.      13
E.      16

Solución:

Sea x el número de partidos ganados. Luego, 20–x es el número de partidos perdidos, donde es importante resaltar un aspecto del deporte en particular, en el béisbol no hay empates.

Como el equipo gana 6 partidos más que los que pierde, entonces:

Es decir,

En consecuencia, la respuesta correcta es D.


Problema 02: Un grifo tarda 30 horas en llenar una piscina. Otro grifo tarda 36 horas en llenar la piscina. El tiempo en que llenaran la piscina los dos grifos juntos, es más cercano a:

A.    33 horas
B.    66 horasC.    17 horas
D.     20 horas
E.     22 horas

Solución:

Si el primer grifo se demora 30 horas en llenar la piscina, entonces en 1 hora llena 1/30 de la capacidad total de la piscina. Si el segundo grifo se demora 36 horas en llenar la piscina, entonces en 1 hora llena 1/36 de la capacidad total de la piscina.

Si ambos grifos se abren al mismo tiempo (y permanecen abiertos), entonces en 1 hora llenarán 1/30+1/36 de la capacidad total de la piscina. Así,

Luego, ambos grifos juntos llenan 11/180 de la capacidad total de la piscina en 1 hora. Como la capacidad total de la piscina es 180/180. Entonces

Luego, de las respuestas dadas, ambas llaves abiertas, llenarán la piscina en el tiempo más cercano a 17 horas.

La respuesta correcta es, entonces es C.


Problema 03: Felipe es 25% más alto que Abner. ¿Qué tanto por ciento es Abner más bajo que Felipe?

A.      25%
B.      20%
C.      30%
D.      22,5%
E.      27,5%

Solución:

Sea x la altura de Abner. El 25 % de x es

Como Felipe es 25 % más alto que Abner, tenemos que la altura de Felipe es

Así, si la altura de Abner es x, entonces la altura de Felipe es 5x/4.

La pregunta del problema es qué tanto por ciento es Abner más bajo que Felipe. Para ello, primero vamos a descubrir qué porcentaje de la altura de Felipe es la altura de Abner. En otras palabras, debemos responder a la siguiente pregunta:

¿Qué porcentaje de 5x/4 es x?

Así

Pero,

Luego, la altura de Abner es el 80 % de la altura de Felipe. En consecuencia, Abner es 20 % más bajo que Felipe.

La respuesta correcta NO es A sino que es B. La razón es que los porcentajes NO se toman sobre la misma cantidad sino sobre cantidades diferentes. El primer porcentaje fue sobre x, y el segundo sobre 5x/4.


Problemas Propuestos:

¿Es verdad que si te aumentan el sueldo en un 20 % y luego te aumentan el sueldo de nuevo, pero ahora en un 10 %, resulta lo mismo que un solo aumento del 30 %?


Alberto sale caminando con una rapidez constante de 3 km/h. 20 minutos después sale Ricardo persiguiéndolo y alcanza a Alberto en 1 hora. ¿Cuál fue la velocidad media de Ricardo?

Queridos amigos y lectores, espero hayan disfrutado leyendo y estudiando estos ejercicios, los espero en la próxima entrega (dentro de dos días) con otros problemas. Compartan con sus hijos, nietos, sobrinos o amigos que quieran aprender un poco más del maravilloso mundo de las matemáticas. No olviden dejar sus comentarios. Saludos y nos leemos pronto.

Si desean consultar un poco más del tema pueden ver las siguientes referencias:

Baldor, Aurelio. Álgebra Elemental. Cultural Centroamericana, 1972.

Baldor, J. Aurelio. Aritmética. Cultural Centroamericana, 1978.

Todas las imágenes son propias, creadas y editadas con software libre: LaTeX2e, GIMP

Habilidades Matemáticas | Lección #07

La imagen esta diseñada en GIMP. Elaborado por @abdulmath.

Saludos amigos y lectores de mi blog, bienvenidos, en esta oportunidad les traigo la séptima lección de la serie de Habilidades Matemáticas, en la misma se ponen a prueba algunas nociones básicas de álgebra y aritmética; en esta oportunidad les presento dos problemas con sus soluciones, y al final les propongo un problema, para así poner a prueba lo que les he mostrado en esta y todas las lecciones anteriores, espero sus comentarios con la respuesta al problema propuesto, así como aportes y sugerencias. Esta serie de publicaciones están dirigidas al público en general, pero con especial énfasis a estudiantes de educación media y diversificada. Los invito a compartir esta publicación con sus hijos, nietos, sobrinos, tíos, abuelos, amigos y todos aquellos que se sientan interesados en divertirse un rato con la belleza que nos regala las matemáticas.

Problema 01: Una línea aérea ofrece a una empresa regalar 2 pasajes por cada 5 comprados. Si el valor de cada pasaje es el equivalente a USD$ 75 y se necesitan 98 pasajes, ¿cuánto se debe pagar a la línea aérea?

A.    USD $1.050
B.     USD $7.350
C.    USD $5.250
D.    USD $1500
E.    USD $6.000

Solución:

Una forma de resolver el problema es hacer una lista del número de pasajes regalados por pasajes comprados, hasta ver cual de estos pares de números suman 98. La lista es la siguiente:

# pasajes comprados
# pasajes regalados
# total de pasajes
5
2
7
10414
15621
20828
251035
301242
351449
40
16
56
45
18
63
50
20
70
55
22
77
60
24
84
65
26
91
70
28
98

De la lista anterior se deduce que debemos pagar 70 pasajes para obtener los 98 pasajes que necesitamos. Es decir, se debe pagar 70*75 = US$ 5.250. Luego, la respuesta correcta es C.

Piensa ahora qué pasaría si el número de pasajes que necesita la empresa hubiera sido más de mil. Haber hecho la correspondiente lista hubiera sido un proceso muy largo. Esto nos indica que sería bueno poder resolver el problema sin hacer la lista que hicimos.

La solución es la siguiente: El costo de 5 pasajes es 5*75 = US$ 375. Pero como por 5 pasajes comprados se regalan 2 pasajes, entonces 7 pasajes cuestan US$ 375.

Luego, un pasaje cuesta US$ (375/7) y por lo tanto los 98 pasajes valen

En otras palabras, por 98 pasajes se debe pagar US$ 5.250.


Problema 02: Dos números se llaman primos entre sí, si su Máximo Común Divisor es 1. ¿Cuál de los siguientes pares de números son primos entre sí?

A.    18 y 21
B.    54 y 33
C.    21 y 35
D.    63 y 20
E.    90 y 60

Solución:

Los divisores de 18 son 1, 2, 3, 6, 9 y 18. Los divisores de 21 son 1, 3, 7, 21. En consecuencia, los divisores comunes de 18 y de 21 son 1 y 3. El mayor de ellos se llama el Máximo Común Divisor entre 18 y 21. Dicho de otro modo, el Máximo Común Divisor entre 18 y 21 es 3. Luego, 18 y 21 no son primos entre sí. Así, la respuesta A NO es la correcta.

Un procediendo en forma similar, vemos que tampoco 54 y 33 son primos entre sí, ya que 3 es un divisor común de 54 y de 33 el cual es mayor que 1.

Similarmente, 21 y 35 no son primos entre sí, ya que 7 es un divisor común de 21 y de 35 el cual es mayor que 1.

Los divisores de 63 son 1, 3, 7, 9, 21, 63 y los divisores de 20 son 1, 2, 4, 5, 10, 20. Observemos entonces que el único divisor común de 63 y de 20 es 1.

Luego, el Máximo Común Divisor entre 63 y 20 es 1. Por lo tanto, 63 y 20 son primos entre sí. En consecuencia, la respuesta correcta es D.


Problema Propuesto:

Abdul juega 15 partidos de ajedrez y gana 3 partidos más que los que pierde. ¿Cuántos partidos ganó Abdul?


Queridos amigos y lectores, espero hayan disfrutado leyendo y estudiando estos ejercicios, los espero en la próxima entrega (dentro de dos días) con otros problemas. Compartan con sus hijos, nietos, sobrinos o amigos que quieran aprender un poco más del maravilloso mundo de las matemáticas. No olviden dejar sus comentarios. Saludos y nos leemos pronto.

Si desean consultar un poco más del tema pueden ver las siguientes referencias:

Baldor, Aurelio. Álgebra Elemental. Cultural Centroamericana, 1972.

Baldor, J. Aurelio. Aritmética. Cultural Centroamericana, 1978.

Todas las imágenes son propias, creadas y editadas con software libre: LaTeX2e, Karbon, Inkscape y GIMP.

Imagen elaborada por @abdulmath, diseñadas y editada con Karbon, y GIMP.

Habilidades Matemáticas | Lección #06

Saludos amigos y lectores de mi blog, bienvenidos, en esta oportunidad les traigo la sexta lección de la serie de Habilidades Matemáticas, donde se ponen a prueba las nociones básicas de álgebra y aritmética; en esta oportunidad les presento tres problemas con sus soluciones, y al final les dejo problema, que queda como un ejercicio práctico, para poner a prueba lo que les he mostrado en esta y todas las lecciones anteriores, espero sus comentarios con la respuesta al problema propuesto, así como aportes y sugerencias. Esta serie de publicaciones están dirigidas al público en general, pero con especial énfasis a estudiantes de educación media y diversificada. Los invito a compartir esta publicación con sus hijos, nietos, sobrinos, tíos, abuelos, amigos y todos aquellos que se sientan interesados en divertirse un rato con la belleza que nos regala las matemáticas.

Problema 01: El promedio de tres números es 12. Si uno de estos números es 8, ¿cuál es el promedio de los otros dos números?

A.      8
B.      10C.      12
D.      14
E.      16

Solución:

Sean x, é y los otros dos números. El enunciado dice que el promedio entre los tres números x, y, 8 es 12. Esto quiere decir:

Multiplicando por 3 cada miembro de la igualdad anterior, resulta:

Restando 8 a cada miembro de la igualdad anterior, resulta:

Luego, el promedio entre x, é y es:

En consecuencia, la respuesta correcta es D.


Problema 02: La etiqueta de un artículo dice:

entonces la rebaja fue del:

A.      60%
B.      40%
C.      30%
D.      70%
E.      120%

Solución:

Sea x % el porcentaje de rebaja. Si la rebaja hubiera sido de Bs. S. 1.600,00 entonces la rebaja hubiera sido del 100 %. Pero, la rebaja fue de Bs. S. 640,00 = Bs. S. 1.600,00 – Bs. S. 960,00. Luego,

ya que el porcentaje de rebaja es directamente proporcional a los bolívares rebajados.

Para despejar x en la ecuación anterior, multiplicamos cada uno de sus dos miembros por 640, resultando:

Simplificando por 100, resulta:

Luego, la rebaja fue del 40 %. Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Problema 03: La abuelita Josefina abre una botella nueva de aceite de 3/4 de litros de capacidad. ¿Cuánto aceite le queda después de gastar 5/8 de litros de aceite?

A.  1/8 de botella
B.     1/6 de litro
C.  1/6 de botella
D.     1/2 litro
E.     1/2 botella

Solución:

Sea x el número de litros que le queda a la abuelita Josefina después de gastar 5/8 de litros de aceite. De acuerdo con el enunciado del problema, tenemos:

Restando 5/8 a cada uno de los dos miembros de la ecuación anterior, resulta:

Así, a la abuelita Josefina le queda 1/8 de litro de aceite.

Ninguna de las respuestas que están dadas en litros corresponde a 1/8 de litro de aceite. Debemos entonces calcular qué parte de la botella corresponde a 1/8 de litro. Es decir, debemos efectuar la división:

En otras palabras a la abuelita Josefina le queda 1/6 de botella. La respuesta correcta es C.


Problema Propuesto:

Reinaldo pinta 1/6 de un muro y Pepe pinta los 3/8 siguientes del muro. ¿Qué fracción del muro falta aun por pintar?

Queridos amigos y lectores, espero hayan disfrutado leyendo y estudiando estos ejercicios, los espero en la próxima entrega (dentro de dos días) con otros problemas. Compartan con sus hijos, nietos, sobrinos o amigos que quieran aprender un poco más del maravilloso mundo de las matemáticas. No olviden dejar sus comentarios. Saludos y nos leemos pronto.

Si desean consultar un poco más del tema pueden ver las siguientes referencias:

Baldor, Aurelio. Álgebra Elemental. Cultural Centroamericana, 1972.

Baldor, J. Aurelio. Aritmética. Cultural Centroamericana, 1978.


Todas las imágenes son propias, creadas y editadas con software libre: LaTeX2e, Karbon, Inkscape y GIMP.

Habilidades Matemáticas | Lección #05

Imagen elaborada por @abdulmath, diseñadas y editada con Karbon, y GIMP.

Saludos queridos lectores y amigos, bienvenidos a mi blog. En esta oportunidad les traigo la quinta lección de la serie de Habilidades Matemáticas, donde se pone a prueba las nociones básicas de álgebra y aritmética; como ya es regular, presento dos problemas en donde muestro la manera de abordarlos y darles solución, y al final un problema propuesto, para que puedan poner a prueba lo aprendido hasta este momento, espero sus comentarios sobre el ejercicio propuesto, así como aportes y sugerencias. Esta serie de publicaciones están dirigidas al público en general, pero con especial énfasis a estudiantes de educación media y diversificada. Los invito a compartir esta publicación con sus hijos, nietos, sobrinos, tíos, abuelos, amigos y todos aquellos que se sientan interesados en divertirse un rato con la belleza que nos regala las matemáticas. 


Problema 01: Un árbol de 12 metros de altura produce una sombra de 2 metros. Al lado del árbol y a la misma hora, Juan produce una sombra de 30 cm. ¿Cuál es la altura de Juan?

A.      18 mts.
B.      2,4 mts.
C.      1,75 mts.
D.      1,50 mts.
E.      Ninguna de las anteriores.

Solución:

El sentido común nos dice que a mayor altura de un objeto, mayor es la longitud de su sombra.

En consecuencia, de aceptar que la altura de un objeto es directamente proporcional a la longitud de la sombra que produce. Desde el punto de vista matemático, esto significa que el cociente de las diversas alturas de los objetos entre las longitudes de sus sombras, tomadas a la misma hora y en el mismo lugar, es constante, es decir, todos estos cocientes tienen el mismo valor.

Si la altura del árbol es 12 metros y su sombra es de 2 metros, entonces su cociente es 12/2=6. Supongamos ahora, que si la altura, en metros, de Juan es x y si la longitud de su sombra es de 0,3 metros, es decir, 30 centímetros, entonces x/(0,3) es también 6.

En consecuencia, la ecuación que resuelve el problema es:

Para despejar x en esta ecuación, multiplicamos cada uno de sus dos miembros por 0,3 para obtener

Luego, la respuesta correcta es E, ya que ninguna de las respuestas anteriores es la respuesta correcta, la cual es de 1,8 metros.


Problema 02: 12 obreros pintan un muro en 4 días. ¿Cuántos obreros, igualmente eficientes, pintan el mismo muro en 3 días?

A.      9
B.      10
C.      15
D.      16
E.      18

Solución:

El sentido común nos dice que a mayor número de obreros (de igual eficiencia cada uno), menor es el número de días en completar el mismo trabajo.

En consecuencia, de aceptar que el número de obreros es inversamente proporcional al tiempo en completar un determinado trabajo. Desde el punto de vista matemático, esto significa que el resultado de multiplicar el número de obreros por el número de días en completar el trabajo, es constante, es decir, este producto es siempre el mismo.

Si x es el número de obreros que se necesitan para pintar la muralla en 3 días, entonces, por lo dicho arriba, los productos 12 por 4 y x por 3 deben ser iguales.

Por lo tanto, la ecuación que resuelve el problema es:

Para despejar x en esta ecuación, dividimos por 3 cada uno de sus dos miembros, obteniéndose:

La respuesta correcta es, D.


Problema Propuesto:

En una fiesta había 60 personas, lo cuál representa el 80% de los invitados. ¿Cuál fue el número total de invitados?

Buenos apreciados lectores y amigos, espero hayan disfrutado esta publicación, los espero en la próxima entrega con otro par de problemas. Compartan con sus hijos, nietos, sobrinos o amigos que quieran aprender un poco más del maravilloso mundo de las matemáticas. No olviden dejar sus comentarios. Saludos y nos leemos pronto.

Si desean consultar un poco más del tema pueden ver las siguientes referencias:

Baldor, Aurelio. Álgebra Elemental. Cultural Centroamericana, 1972.

Baldor, J. Aurelio. Aritmética. Cultural Centroamericana, 1978.


Todas las imágenes son propias, creadas y editadas con software libre: LaTeX2e, Karbon, Inkscape y GIMP.

Imagen elaborada por @abdulmath, diseñadas y editada con Karbon, y GIMP.


Habilidades Matemáticas | Lección #04

Imagen elaborada con Karbon, GIMP e Inskcape, por @abdulmath.

Saludos queridos lectores y amigos, bienvenidos a mi blog, esta oportunidad les traigo la cuarta lección de la serie de Habilidades Matemáticas, donde se pone a prueba las nociones básicas de álgebra y aritmética; como ya es regular, presento dos problemas en donde mostramos la forma de abordarlos y darles solución, y al final un problema propuesto, para que puedan poner a prueba lo aprendido hasta este momento, espero sus comentarios sobre el ejercicio propuesto, así como aportes y sugerencias.

Esta serie de publicaciones están dirigidos al público en general, pero con especial énfasis a estudiantes de educación media y diversificada. Los invito a compartir esta publicación con sus hijos, nietos, sobrinos, tíos, abuelos, amigos y todos aquellos que se sientan interesado es divertirse un rato con la belleza que nos regala las matemáticas.


Problema 01: Con 23 y 1/4 de kilos de azúcar se hacen paquetes de 3/4 kilos cada uno. ¿Cuántos paquetes resultan?

A.  31 aproximadamente
B. 31 exactos
C. 17 aproximadamente
D. 17 exactos
E. 18 exactos

Solución:

Antes de resolver el problema, debemos resolver un problema similar pero con números más sencillos. Resolvamos, entonces, el siguiente problema:

”Con 30 kilos de azúcar se hacen paquetes de 2 kilos cada uno. ¿Cuántos paquetes resultan?”

Es claro que para saber cuántos paquetes resultan, debemos dividir 30 entre 2, lo cuál es 15.

Lo mismo se hace con el problema dado. Debemos dividir 23 y 1/4 entre 3/4. Antes que nada, recordemos ahora que 23 y 1/4 significa:

Luego,

En la cual, hemos usado el hecho que para dividir un número por una fracción, por ejemplo, para dividir un número por la fracción 3/4, se multiplica el número por la fracción invertida; es decir, en este caso, se multiplica el número por 4/3.

Como hay 31 paquetes y la división es exacta, entonces, la respuesta correcta es B.


Problema 02: El 30% de

es igual al 25% de:

A.      4/5
B.      2/3
C.      3/2
D.      1/5
E.      1/2

Solución:

Para resolver este problema, debemos ir aclarando el enunciado. Para ello, lo primero que vamos a hacer es escribir como una fracción simple la cantidad dada en el problema, es decir

Sea ahora x el número que estamos buscando. El problema del enunciado se reduce al siguiente problema:

Determinar x de modo que el 30% de 2/3 sea igual al 25% de x.

Para seguir simplificando este enunciado, observamos ahora que el 30% de 2/3 significa,

Así, el 30% de 2/3 es 1/5. Por otro lado, el 25% de x significa,

Luego, el problema se reduce al siguiente:

Determinar x de modo que

Para despejar x en la igualdad anterior, multiplicamos cada uno de sus dos miembros por 4, resultando x=4/5.

En consecuencia, la respuesta correcta es A.


Problema Propuesto:

15 litros de gasolina llenan los 3/5 del estanque. ¿Cuál es la capacidad del estanque?

Buenos apreciados lectores y amigos, espero hayan disfrutado esta publicación, los espero en la próxima entrega (dentro de dos días) con otro par de problemas. Compartan con sus hijos, nietos, sobrinos o amigos que quieran aprender un poco más del maravilloso mundo de las matemáticas. No olviden dejar sus comentarios. Saludos y nos leemos pronto.

Si desean consultar un poco más del tema pueden usar la siguiente referencia:

Baldor, Aurelio. Álgebra Elemental. Cultural Centroamericana, 1972.


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Habilidades Matemáticas | Lección #03

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Saludos queridos lectores y amigos, bienvenidos a mi blog, esta vez les traigo la tercera lección de la serie de Habilidades Matemáticas, donde se pone a prueba las nociones básicas de álgebra y aritmética, como ya es regular, presento dos problemas en donde les presento la solución de los mismos, y al final un problema propuesto, para que puedan poner a prueba lo aprendido hasta este momento, espero sus comentarios sobre el ejercicio propuesto, así como aportes y sugerencias. Esta serie de publicaciones están dirigidos al público en general, pero con especial énfasis a estudiantes de educación media y diversificada. Los invito a compartir esta publicación con sus hijos, nietos, sobrinos, tíos, abuelos, amigos y todos aquellos que se sientan interesado es divertirse un rato con la belleza que nos regala las matemáticas.

Problema 01: El candidato A obtuvo el 24% de la votación. El candidato B obtuvo el 40% de la votación. El candidato C obtuvo los 18 votos restantes. ¿Cuántas personas votaron?

A.     50
B.     18
C.      20
D.      36
E.     Ninguna de las anteriores

Solución:

Sea x el número de votantes. El 24% de la votación es

El 40% de la votación es

Observemos ahora que de acuerdo con el enunciado del problema, el número total de votantes es:

Por lo tanto, ya que x es también el número total de votantes, tenemos que la ecuación que resuelve el problema es:

Para comenzar el proceso de despejar x, vamos primero a eliminar las fracciones, multiplicando cada uno de los dos miembros de la ecuación anterior por 100, resultando:

Luego,

Ahora restamos 64x a cada lado, obteniendo:

de donde,

Para terminar de despejar x, dividimos cada miembro de esta última ecuación por 36, resultando:

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.


Problema 02: ¿En qué porcentaje queda disminuido un número si se multiplica por 2/5?

A.      3/5%
B.      40%
C.      2/5%
D.      60%
E.      10%

Solución:

Sea x el número en cuestión. Al multiplicar 2/5 por x obtenemos 2/5 x. Como estamos hablando de porcentajes, escribimos por medio de una fracción equivalente cuyo denominador sea 100. Para ello, notemos que

Luego,

Pero, 40/100 x es el 40% del número. En otras palabras, si un número se multiplica por 2/5, el número se reduce a su 40% y en consecuencia, queda disminuido en un 60%. Por lo tanto, la respuesta correcta es D.


Problema Propuesto:

En un concurso se inscribieron 20 niños y 30 niñas. Solo el 10% de los niños recibieron premio y solo el 20% de las niñas recibieron premios. ¿Qué porcentaje del total de los inscritos recibieron premios?


Bueno queridos amigos y lectgores, espero hayan disfrutado esta publicación, los espero en la próxima entrega con otros problemas. Compartan con sus hijos, nietos, sobrinos o amigos que quieran aprender un poco mas del maravilloso mundo de las matemáticas. No olviden dejar sus comentarios. Saludos y nos leemos pronto.


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Habilidades Matemáticas | Lección #02

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Acá les dejo una nueva publicación con algunos problemas de desarrollo de habilidades matemáticas, donde se pone a prueba las nociones básicas de álgebra y aritmética. Les dejo una entrega de 2 ejercicios con sus respuestas y sugerencias de solución Al final les dejo un ejercicio para su consideración, espero sus comentarios con la respuesta del mismo. Estos problemas están dirigidos a el público en general, pero principalmente a estudiantes de educación media y diversificada.

Problema 01: En un campeonato de fútbol se inscribieron 10 equipos. Si cada equipo debe jugar una sola vez con cada uno de los equipos restantes, ¿cuántos partidos tiene el campeonato?

A. 9
B. 19
C. 20
D. 35
E. 45

Solución:

Para encontrar la solución a este problema, primero lo haremos de manera inductiva, estudiando el caso donde hay 2 equipos inscritos en el campeonato, después estudiaremos el caso donde hay 3 equipos y así sucesivamente, tratando de ir descubriendo cierta ley que nos permita resolver el problema para el caso de varios equipos inscritos en el campeonato. Por otro lado, es siempre aconsejable tratar de hacer un dibujo del enunciado del problema, cuando sea posible, pues entonces será más fácil visualizar la solución que es la que debemos tratar de buscar. Para el logro de este fin, en el caso de este problema, vamos a representar los equipos por puntos en el plano y vamos a representar los partidos jugados por trazos que unen los respectivos puntos. El número de partidos del campeonato será entonces el número de todos los trazos posibles que se pueden conectar entre los diversos puntos. Por ejemplo, supongamos que hay solo 2 equipos inscritos. Entonces la imagen anexa correspondiente esta en la parte de la izquierda, donde descubrimos que hay un solo partido (ya que hay un solo trazo posible). Pero si los equipos son 3, entonces, de acuerdo con la imagen anexa en la parte derecha, hay 3 partidos jugados.

Imagen creada con Karbon, Inkscape y GIMP, son software libre. Elaborado por @abdulmath.

Los siguientes gráficos representan respectivamente, a la izquierda el caso de 4 equipos inscritos, y de a la derecha el caso de 5 equipos inscritos.

Imagen creada con Karbon, Inkscape y GIMP, son software libre. Elaborado por @abdulmath.

En el caso de 4 equipos, la figura es un cuadrilátero (polígono de 4 lados) y el número de partidos jugados corresponde al número de lados del cuadrilátero (4), más el número de sus diagonales (2); es decir, con 4 equipos hay 6 partidos.

En el caso de 5 equipos, la figura es un pentágono (polígono de 5 lados) y el número de partidos jugados corresponde al número de lados del pentágono (5), más el número de sus diagonales (5); es decir, con 5 equipos hay 10 partidos.

Recordemos ahora, que un polígono de n lados, tiene n(n-3)/2 diagonales.

Por ejemplo, con esta fórmula se puede ver que para un triángulo, n=3 y n(n-3)/2=0 ya que un triángulo no tiene diagonales. Para un cuadrilátero, n=4 y n(n-3)/2=2 lo que concuerda con las diagonales de un cuadrilátero que son 2. Para un pentágono, n=5 y n(n-3)/2=5, así verificamos que un pentágono tiene 5 diagonales.

Por lo dicho anteriormente, debemos ahora darnos cuenta que si hay n equipos, entonces, el número de partidos es:

En el caso de nuestro problema, hay n=10 equipos, entonces el número de partidos es

La respuesta correcta es E.


El lector haría bien en responder a la siguiente pregunta:

¿cuántos partidos tiene el campeonato si se inscriben 20 equipos?


Problema 02: El promedio aritmético entre 3 números es 14. ¿Cuál debe ser el cuarto número para que el nuevo promedio sea 16?

A. 16
B. 17
C. 18
D. 20
E. 22

Solución:

Recordemos primero que el promedio, también llamado promedio aritmético o media aritmética, entre n números es la suma de estos n números dividida entre n. Por ejemplo, el promedio entre 4 y 6 es (4+6)/2=5, el promedio entre 8, 1, 6 es (8+1+6)/3=5, mientras que el promedio entre 18, 20, 14, 10 es (18+20+14+10)/4=62/4=15,5.

Una vez aclarado los conceptos envueltos en el enunciado del problema, procedemos a tratar de resolverlo.

Como el promedio entre 3 números es 14, entonces la suma de estos 3 números, dividida entre 3, es igual a 14. Luego, la suma de los 3 números es 14*3 =42.

Sea, ahora, x el cuarto número. El promedio de los cuatro números del enunciado es la suma de los tres primeros que es 42, más x, y toda esta suma dividida entre 4.

Así, el mencionado promedio es (42+x)4. Este promedio es, según el enunciado, igual a 16. En consecuencia, tenemos la siguiente ecuación:

Para despejar x en esta ecuación, se multiplica cada uno de sus 2 miembros por 4, obteniéndose:

Para despejar x en esta última ecuación, se resta 42 a cada miembro, obteniéndose:

Luego, la respuesta correcta es E.


Buenos apreciados lectores y amigos, espero hayan disfrutado esta publicación, los espero en la próxima entrega dentro de dos días. No olviden dejar sus comentarios con la solución del problema que les deje. Saludos y nos leemos pronto.

Todas las imágenes son propias, creadas y editadas con software libre: LaTeX2e, Karbon, Inkscape y GIMP.

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Habilidades Matemáticas | Lección #01

Está publicación trataré algunos problemas donde se requiere un poco de habilidad matemática, y aquí hablaremos un poco de las soluciones de los mismos.

Problema 01: ¿Entre cuántas personas se reparten 103 naranjas si a cada una de ellas le tocan 9 naranjas y sobran 4 naranjas?

A.   17
B.   10
C.   11
D.   12
E.    15

Solución:

Si dividimos las 103 naranjas que hay entre 9, entonces el cociente de la división es el número de personas pedido y el resto de la división es 4. En consecuencia, si dividimos 99 = 103 – 4 entre 9, se obtiene el número de personas buscadas ya que ahora el resto de la división será cero. Como 99:9 = 11, entonces la respuesta correcta es C.


Problema 02: Si 50 senadores del Congreso votan a favor de la proposición X, faltaría 1 voto para aprobarla. Para aprobar una proposición en el Congreso se necesitan los votos a favor de por lo menos 3/5 del total de senadores. ¿Cuál de los siguientes es el número de senadores de este Congreso?

A.    83
B.    86
C.    80
D.    88
E.     85

Solución:

Sea X el número de senadores. Entonces, los 3/5 de los senadores es (3/5)x =3x/5. Por otro lado se deduce del enunciado que se necesitan 51 votos para aprobar la proposición X. Luego, 3x/5= 51 (si es que es un número entero, que será precisamente el caso aquí). Para resolver la ecuación 3x/5= 51, multiplicamos por 5 cada miembro de esta ecuación, obteniendo 3x = 51*5. Luego, 3x = 255. Dividimos ahora cada miembro de esta última igualdad por 3 y obtenemos finalmente, x = 85. La respuesta correcta es entonces E.